Fibonačijev niz i brojevi. Magija Fibonačijevih brojeva

Niz brojeva koji se nazivaju Fibonačijev niz imaju izuzetna matematička svojstva koja su svoje mesto našli u prirodi, kao što je to Zlatni presek.

Matematika je logična, funkcionalna i jednostavna … strava . Matematičar Artur Benjamin istražuje skrivene osobine tog čudnog i divno skupa brojeva koji se zove Fibonačijev niz i podseća da matematika može da bude inspirativna i zabavna.

Koristeći smeloo pokazivanje algoritamskih trikova a munje kalkulator i broj matematički čarobnjak Artur Bendžamin očarava publiku sa matematičkom misterijom i lepotom koji ima Fibonačijev niz u sebi.

Fibonačijev niz i brojevi

Zašto učimo matematiku? U suštini, iz tri razloga: računanje, primena i poslednje i nažalost najmanje bitno, što se tiče vremena koje mu posvećujemo, nadahnuće.

Matematika je nauka o šablonima i proučavamo je kako bismo saznali kako da mislimo logički, kritički i kreativno, ali previše matematike koju učimo u školama nije valjano motivisano i kada naši učenici pitaju: „Zašto učimo ovo?“, često čuju da će im to biti potrebno na nekom budućem testu ili času matematike. Ali zar ne bi bilo sjajno kad bismo se, s vremena na vreme, bavili matematikom jednostavno jer je zabavna ili predivna ili zato što je uzbudljiva za um? Znam da dosta ljudi nije imalo priliku da vidi kako ovo može da se desi, zato hajde da vam dam brz primer sa mojim omiljenim skupom brojeva, Fibonačijevim brojevima. (Aplauz)

Da! Ovde već imam Fibonačijeve fanove. To je sjajno.

Ove brojeve možete razumeti na mnogo različitih načina. Sa stanovišta računanja, jednako ih je lako razumeti kao 1 + 1, što je 2. 1 + 2 je onda 3, 2 + 3 je 5, 3 + 5 je 8, i tako dalje. Zaista, osoba koju nazivamo Fibonači se zapravo zvala Leonardo od Pize i ovi brojevi se pojavljuju u njegovoj knjizi „Liber Abaci“, koja je Zapadni svet naučila aritmetičkim metodama koje danas koristimo. Što se tiče primene, Fibonačijevi brojevi se u prirodi pojavljuju iznenađujuće često. Broj latica na cvetu je tipično Fibonačijev broj, ili broj spirala na suncokretu ili ananasu, to su takođe uglavnom Fibonačijevi brojevi.

Zapravo postoji još dosta primena Fibonačijevih brojeva, ali ono što je za mene najinspirativnije u vezi sa njima su predivni šabloni brojeva koje oni prikazuju. Dozvolite da vam pokažem jedan od meni omiljenih. Recimo da volite da kvadrirate brojeve, a iskreno, ko to ne voli? (Smeh)

Hajde da pogledamo kvadrate prvih nekoliko Fibonačijevih brojeva. 1 na kvadrat je 1, 2 na kvadrat je 4. 3 na kvadrat je 9, 5 na kvadrat je 25, i tako dalje. Ne iznenađuje činjenica da kada dodate uzastopne Fibonačijeve brojeve, dobijate sledeći Fibonačijev broj. Zar ne? Tako oni nastaju. Ali ne biste očekivali da se desi ništa posebno kada saberete kvadratne vrednosti. Ali pogledajte ovo. 1 + 1 nam daje 2, i 1 + 4 daje 5. 4 + 9 je 13, 9 + 25 je 34, i da, šablon se nastavlja.

Zapravo, evo još jednog. Recimo da želite da pogledate sabiranje kvadratnih vrednosti prvih nekoliko Fibonačijevih brojeva. Da vidimo šta tu dobijamo. 1 + 1 + 4 je 6. Tome dodajte 9, to je 15. Dodajte 25, to je 40. Dodajte 64 i to je 104. Sada pogledajte te brojke. To nisu Fibonačijevi brojevi, ali ako ih pogledate pažljivo, videćete Fibonačijeve brojeve sakrivene unutar njih.

Vidite li ih? Pokazaću vam. 6 je 2 puta 3, 15 je 3 puta 5, 40 je 5 puta 8, 2, 3, 5, 8. Kome odajemo priznanje?

(Smeh)

Fibonačiju! Naravno.

Koliko god da je zabavno otkrivati ove šablone, još je veće zadovoljstvo razumeti zašto su tačni. Hajde da pogledamo poslednju jednačinu. Zašto bi kvadratne vrednosti brojeva 1, 1, 2, 3, 5 i 8 sabrane, dale 8 puta 13? Pokazaću vam uz pomoć jednostavnog crteža. Počećemo sa kvadratom dimenzija 1×1 i pored ćemo dodati još jedan kvadrat dimenzija 1×1. Zajedno daju pravougaonik dimenzija 1×2. Ispod toga, dodaću kvadrat dimenzija 2×2, a pored toga, kvadrat dimenzija 3×3, ispod toga, kvadrat dimenzija 5×5 i onda kvadrat dimenzija 8×8, stvarajući jedan ogromni pravougaonik, zar ne?

Dozvolite da vam postavim jednostavno pitanje: koja je površina pravouganika? Sa jedne strane, to je zbir površina kvadrata unutar njega, zar ne? Baš kao što smo ga napravili. To je 1 na kvadrat + 1 na kvadrat + 2 na kvadrat + 3 na kvadrat + 5 na kvadrat + 8 na kvadrat. Zar ne? To je površina. Sa druge strane, zbog toga što je to pravougonik, površinu dobijemo kada pomnožimo visinu i osnovu, a visina je očigledno 8 dok je osnova 5 + 8, što je sledeći Fibonačijev broj, 13. Zar ne? Površina je takođe 8 puta 13. Pošto smo tačno izračunali površinu na dva različita načina, to mora da bude isti broj i zbog toga kvadradne vrednosti brojeva 1, 1, 2, 3, 5 i 8 sabrane daju 8 puta 13.

Ako nastavimo ovaj proces dobićemo pravouganike formata 13×21, 21×34 i tako dalje.

Pogledajte sada ovo. Ako podelite 13 sa 8 dobijate 1,625. A ako veći broj podelite manjim brojem, ove srazmere se sve više približavaju vrednosti oko 1,618, što je mnogima poznato kao Zlatni presek, broj koji vekovima fascinira matematičare, naučnike i umetnike.

Ovo sve vam pokazujem zato što, baš kao u dobrom delu matematike, postoji prelepa strana toga za koju se bojim da ne dobija dovoljno pažnje u našim školama. Puno vremena provodimo učeći o računanju, ali ne zaboravimo na primenu, uključujući možda i najbitniju primenu od svih, učenje kako se misli.

Kada bih ovo mogao da sažmem u jednu rečenicu, to bi bilo sledeće: matematika ne znači samo pronaći vrednost x, već takođe i otkriti zašto.

Hvala vam mnogo. (Aplauz)

Izvor: Ted konferencija